176 GUSTAVO SANNIA 



Se una serie di funzioni 



(7) Ilo {x, y) -J- ih [x, t/) -h ... + Un {x, y) -f ... , 



armoniche in un campo C, è sommabile (B, r) uniformemente sul 

 contorno 1, tale è pure nel campo, ed ivi la somma u (x, y) è fun- 

 zione armonica. 



Poiché (7) è sommabile [B, r) uniformemente su l, sono 

 soddisfatte condizioni analoghe alle A) e B) del n° 2 (^^), ossia: 

 è convergente uniformemente la serie 



ce 



(8) é'^ (a, a?, !/) = 2] ""+' (^' V) ^7 



n—O 



quando il punto [x, y) giace su ^ ed a nell'intervallo (0, m), ed 

 è convergente uniformemente su l l'integrale 



(9) r e-''ìé'^{o.,x,y)da.. 



Per la convergenza uniforme di (8), dato e >» 0, esiste un 

 intero « > (indipendente da a, a; e tj) tale che, per ogni in- 

 tero p > 0, risulti 



(10) j w„+, {x, ?/) ^ -f -. + Wn+r+p (a^, y) ^nVpY. I ^ ^ 



quando [x, y) giace su Z ed a in (0, m). Ma la quantità in pa- 

 rentesi è, per ogni a fissato, una funzione armonica in C, tali 

 essendo le m„ {x, y), e perciò assume i suoi valori estremi sul 

 contorno l di C; quindi la (10) vale a fortiori anche nei punti 

 interni a C. 



Dunque la (8) sarà pure uniformemente convergente quando 

 [x, y) cade in C (contorno incluso) ed a in (0, m). Ne segue che 

 la sua somma è funzione continua delle tre variabili a, x e y 

 (tali essendo i suoi termini) quando {x, y) cade in C (contorno 

 incluso) ed è a^O (essendo m^Q arbitrario); inoltre, per 



(") Ove all'intervallo [u, b) vi si sostituisca la linea /. 



