SERIE DI FUNZIONI SOMMABILI UNIFORMEMENTE, ECC. 177 



Ogni a > fissato, detta somma è funzione armonica in C (per 

 il teorema di Harnach). 



Poi, dalla convergenza uniforme di (9) su /, segue che, 

 dato € > 0, esiste un numero a^ > (indipendente da r» e ^/) 

 tale che, per ogni Oa ]>> aj , risulti 



(11) j r'e-'*tt<")(a,a;,2/)6?a|<e 



in tutti i punti {x, y) di l. Ma l'integrale in parentesi è fun- 

 zione armonica in C (tale essendo il suo integrando per ogni a 

 fissato), quindi prende i suoi valori estremi sul contorno l ; 

 dunque la (11) varrà a fortiori anche in tutti i punti {x,y) in- 

 terni a C, e perciò l'integrale (10) sarà convergente uniforme- 

 mente anche in C. 



Da tutto ciò segue che la serie (7) è sommabile {B, r) uni- 

 formemente, non solo su l, ma anche in C. 



Poiché infine le due funzioni (10) e 



Ur-i {x, «/) — se r < , 



Ur-i {x, y) = Uq {x, y) 4- ... + 2<,._, [x, y) se ?• > 



sono armoniche in C, tale sarà pure la somma w [x, y) della (7) 

 che (n° 1) è somma di queste due funzioni, 



5. — Le definizioni ed i teoremi dei n' 1, 2 e 3 si esten- 

 dono facilmente al campo complesso. E si estende come segue 

 anche il noto teorema di Weierstrass sulle serie di funzioni 

 analitiche; 



Se una serie di funzioìii analitiche regolari in un' area A è 

 ivi sommabile (B, r) uniformemente, la sua somma è una funzione 

 analitica regolare in A, la cui derivata ^- esima è la somma della 

 serie che si ottiene dalla data derivandola k colte termine a ter- 

 mine, e che risulta sommabile (B, r) in A. 



Poiché la serie é sommabile [B, r) uniformemente in A, lo 

 sarà pure in ogni aiea B (contorno l incluso) tutta contenuta 

 in A\ perciò il teorema è corollario del seguente: 



/ termini di una serie siano funzioni analitiche regolari nel- 

 l'interno di un'area B e continue sul contorno 1 dell'area. Se la 



