178 GDSTAVO SANNIA 



serie è sommahile (B, r) uniformemente su \, io è pure in B, e la 

 sua somma è una funzione analitica regolare in B, la cui deri- 

 vata 1s.-esima è la somma della serie che si ottiene dalla data de- 

 ricandola k volte termine a termine, e che risulta sommabile (B, r) 

 in B (12). 



6. — Ora passiamo a dimostrare un teorema che è esten- 

 sione del teorema li del n° 3 {^^). Occorrono due lemmi. 



Lemma I. — Sia g (z, x) una funzione della variabile com- 

 plessa z in una regione al finito A e della variabile reale x in 

 un intervallo (a, b), tale che per ogni z di K il suo modulo sia 

 funzione continua di x in (a, b), tranne al piii nelV estremo a che 

 'può essere un suo punto di infinito, e tale inoltre che l'integrale 

 {reale e 'positivo se a <C b) 



J{z) = ^Jg{z,x)\dx 



sia convergente e limitato nella regione A. Allora, se 



(12) /"o (a, x) + A (a, x) + ... + f^ (a, x) + ... 



è una serie di funzioni continue (reali o complesse) delle due va' 

 riabili reali a e x nel campo (6), che ivi sia convergente unifor- 

 memente con sonimi f (a, x), si ha 



OD 



(13) I g [z, x) f (a, x) dx = Y\ g {z, x) f^ (a, x) dx 



n=0 



(14) per a in (0, m) e z in k , 



ed in tal campo (14) la serie secondo membro è convergente uni- 

 formemente. 



Per le ipotesi fatte sulla (12), la sua somma /" (a, ic) sarà, 

 come le f„{a,x), funzione continua nel campo (6); quindi, per 



('-) Se nell'enunciato si sostituisce " sommabile {B,r) „ con " convergente ,, 

 si ha un teorema noto (Goursat, Cours d'Analyse, voi. IT. n" 297). Viceversa, 

 se nella dimostrazione di questo si sostituisce dappertutto " convergente , 

 con " sommabile (B, r) „, si ha la dimostrazione del teorema del testo. 



(*^) Si riduce a questo ponendovi g{z, x) ==^ \. 



