SERIE DI FUNZIONI SOMMABILI UNIFORMEMENTE, ECC. 179 



le ipotesi fatte su g {z, x), tutti gli integrali che compaiono 

 nella (13) saranno convergenti (ed assolutamente). 



Così, per la continuità di f{a,x), sarà 'f{a,x)\ minore di 

 una costante K'^0 nel campo (6); quindi, detto (J un numero 

 positivo piccolo ad arbitrio, si avrà 



r ^ I g [z, x) f (a, x) clx<K j ^^^ ' g {>!, x)\dx< KJ {z) < KJ, 



ove / indica il limite superiore in A della funzione J{z), che 

 è positiva e limitata per ipotesi. Dunque il primo membro è 

 positivo e limitato in A; ma esso evidentemente è funzione 

 monotona (decrescente) di a, dunque ammette un limite finito 

 quando a tende a zero decrescendo, il che prova che l'inte- 

 grale primo membro di (13) è convergente (ed assolutamente 

 per definizione). 



Ciò premesso, per la convergenza uniforme di (12) nel 

 campo (6), dato e >> 0, esiste un intero positivo h (indipendente 

 da a e a?) tale che per ogni intero Jc^h risulti 



(15) I 2] A K »^) I < ^ nel campo (6). 



Ne segue che, per ogni z dì A, e 



k 

 I V^ fb 



n=zh n=h 



^ |„l^ (^. ^) I 2 ^" ^"' '^^ ^"^ ^ 27 j a ' ^ ^^' ^^ ' ^^' 



quindi 



k 



(16) 2, 5' («» ^) A («» ^) <^^ <C -|- nel campo (14). 



n—h 



Ciò prova che la serie (13). di funzioni di a e -e, è con- 

 vergente uniformemente nel campo (14). 



