180 GUSTAVO SANNIA 



Si ha poi dalla (15) (al limite per A: = -f oo) 



n=0 



\^fn{(^,x)^= f (a, x)—^ fn (a, x) <^ nel campo (6), 



n—h 



quindi, per la (16), 



1^5' («> a;) /"(a, x) — 2 Ja-9 (^' ^) ^("' ^) ^^ I 



n=0 



^ \j9 {z, x]\' f{a, x) — ^ f„ (a. a?) o^a; < ^ J = y 



ft-i 



w=0 



Da ciò e dalla (16) (che vale per ogni k^h e quindi 

 anche al limite per k = -\- ce) segue che 



rb ^ Cb 



^ 9 (^» a;) /■ (a, a?) ^a- — 2] J ^ y [z, x) f,, (a, or) dx 



«=o 



ft-i 



<\^j{z,x)f (a, re) <^« — 2 J a ^ ^^' ^^ ^'^ ("' ^^ ^^ 



00 



+ 1 2 )„ ^ (^' ^) A («' ^) ^^ I < y + y ^ e 



+ 



n^^h 



nel campo (14). Poiché e è arbitrario, ciò prova che il primo 

 membro di questa disuguaglianza vale zero, e quindi che la (13) 

 sussiste, nel campo (14). 



Lemma IL — Sia g (z, x) la funzione definita nel lemma I 

 ed h (a, x) una funzione continua (reale o complessa) delle varia- 

 bili reali a e x nel campo (6), tale che l'integrale 



(17) 



reo 



h (a, x) dx (a ^ 0) 



Jo 



sia convergente uniformemente nell'intervallo (a, b). Allora si ha 



■b [^ f^ f* 



g (z, x) dx h (a, x) da = \ da\ g {z, x) h (a, x) dx 



