SEKIE DI FUNZIONI SOMMABILI UNIFORMEMENTE, ECC. 181 



in tutti i ])unti z dell'area A ; ed ivi l'integrale tra i limiti e ce 

 del secondo membro è convergente uniformemente (^*). 



Teorema. — Sia g (z, x) la funzione definita nel lemma I ed (1) 

 una serie di funzioni continue (reali o complesse) della variabile 

 reale x in un intervallo (a, b), che ivi sia sommabile (B, r) uni- 

 formemente ed abbia per somma u (x). Allora si ha 



00 



(18) g {z, x) u (x) dx = 2jÌ g {z, x) u^ {x) dx 



w— 



in tutti i punti z dell'area A ; ed ivi la serie del secondo membro 

 è sommabile (B, r) uniformemente. 



Per le ipotesi fatte sulla (1), la (2) è una serie di funzioni 

 di a e X continue nel campo (6), che ivi è uniformemente con- 

 vergente (n*> 2), quindi ad essa è applicabile il lemma I. Si 

 trova così che 



OD 



g {z, x) «*'■* (a, x) dx = y\ g {z, x) «„+, (x) — p dx 



n—O 



e che la serie secondo membro è convergente uniformemente 

 p nel campo (14). 



Ponendo per semplicità 



(19) g{z,x)Un{x)dx= Vn{z}, 1 g{z,x)u^'\a,x)dx:= é''^{a,z), 



j a J a 



la si può scrivere 



OD 



«?""' (a, ^) = 2 ^'«+'- (^) ^ ' 



n—O 



(^*) La dimostrazione è analoga a quella del lemma I: invece della 

 serie (12) qui si considera l'integrale (17\ quindi nella dimostrazione, in 



luogo dei simboli operatori / > / ' ^i compai-iranno i simboli da, 



da, da. 

 )h Jo 



n = li n = /i n = 



