182 GUSTAVO SANNIA 



e ciò mostra che essa è la serie associata di ordine r alla 

 serie di funzioni 



(18)' '^^niz) 



W=rO 



che, per le (19), coincide con la serie secondo membro di (18). 

 Inoltre la somma é'^{a,x) della (2) è funzione continua 

 nel campo (6), ove la (2) è convergente uniformemente; quindi 

 il lemma II è applicabile alla funzione A (a. x) =; «""«"'(a, a*). 

 Si trova così che 



g {z, x) dx e"" lé'^ (a. x) da=z er'^do. g (e, x) u'-'''' (a, x) dx 



Jo 



in tutti i punti z dell'area A, e che ivi l'ultimo integrale è con- 

 vergente uniformemente. Ora, poiché questo è l'integrale asso- 

 ciato di ordine r alla (18)' ^ (18), concludiamo che questa serie 

 è sommabile {B, r) uniformemente nell'area A. 



Rimane solo a dimostrare che la sua somma è il primo 

 membro della (18). Infatti questa somma è espressa da (n° 1) 



V (z) = V,._, {z) + Té!-" y<^' (a, z)da, 



Jo 



ove 



F,_i(«) = se r^O, V.._,{z) = Vo{z) + ...-^ v,..^{z) se r>0, 



ossia, per le (5) e (19), 



(20) F.._i (z) = ^j {z, x) U^_, {x) dx ; 



infine, per le (19) e (20), l'espressione di v [z] diventa 



cb cb e» 



V [z) :=\ g [z, x) U,.-i {x) dx -'r ^ g {z, x) dx \ e"" m""' (a, x) dx 



e, per la (4), si riduce al primo membro della (18). 



