SERIE DI FUNZIONI SOMMABILI UNIFORMEMENTE, ECC. 183 



7. — Se una serie di potenze di una variabile 



(21) uo -{-UiZ-\- ihz^' + ... + «*„2" -h .-. 



è sommabile (B, r) in un punto Mq del piano complesso diverso 

 dal punto (z ^ 0), è pure sommabile (B, r) ed uniformemente 

 sul segmento OMq . 



Ho dimostrato questo teorema nel n° 13 della Nota Si, 

 però con l'aggiunta " purché si escluda un intorno di se r^O „. 

 Allo scopo di togliere questa restrizione, riprenderò la dimo- 

 strazione nel caso r < 0. 



Come in Si, si vede che tutto si riduce a dimostrare che: 

 se un integrale improprio del tipo 



•oc _A 



(22) I e ^ 9'-'f{b)db (è > 0) , 

 Jo 



ove f (b) è funzione continua, è convergente per p = po > 0, lo è 

 pure ed uniformemente per <<! P < Po • 



Supponiamo dunque <C P < Po © consideriamo l'integrale 



/ (a, p) = [%~ ^ p'-^ f (è) db = p'-' j%~ Hy ~ 7o) e~ To f [b] db , 



ove a e p sono numeri arbitrarli tali che p>a>(l — r) Pq. 



Il primo fattore dell'ultimo integrando è funzione positiva 



e decrescente di b, quindi (per il secondo teorema della media) 



(23) 



J{a,^} = p-'e ""^^ '0^1'% ^of[b)db, 



ove T è un certo numero compreso fra a e p. 



Il fattore esterno a questo integrale è una funzione posi- 

 tiva di p la cui derivata 



)-3g "(f o)ra_(l — r 



[a - (1 - r) p] 



è positiva; poiché, essendo a>>(l — ^') Po. 0<:Cp<Po» *' < f*. 

 è a>>(l — /•) p. Dunque detta funzione è crescente, e perciò 



