184 GUSTAVO SANNIA 



assume il suo massimo valore (che è Po~') per p = po . Ne 

 segue, per la (23), che 



(24) !J(a,p)!<|J^r^pr7(^)^^|. 



Ora, poiché (22) è convergente per p = po, dato e ]>> 0, 

 esiste un numero a ;> (1 — ;•) Po (quindi positivo) tale che per 

 ogni Y^ot il secondo membro di (24) sia minore di e; ed al- 

 lora sarà pure ìJ(a, P)|<<e per ogni P I> a. Poiché a è indi- 

 pendente da p, ciò assicura che l'integrale (22) è convergente 

 uniformemente per <I P < Po • 



8. — Il perfezionamento ora apportato al teorema del 

 n* 13 della Nota Si si ripercuote in tutti quei teoremi delle 

 Note Sg. Li, L2, L3 le cui dimostrazioni sono fondate su di 

 esso. Sia per non sorpassare i limiti imposti a questa Nota, 

 sia perchè la revisione è facile, mi limito ad enunciare quei 

 teoremi nella loro nuova e definitiva forma. 



Ricordo anzitutto (S2, n' 14 e 15) che su ogni semiretta p 

 uscente dal punto vi è un segmento OG che (escluso forse G) 

 è il luogo dei punti 2; di /> ove la serie (21) e ciascuna delle 

 sue derivate 



A:! Uk + {k + i)k ... 2u^^,z -\- {k + 2) [k + 1) 3%.2 z^ + ... 



(A- =1,2,...) 



è sommabile [B, r) per qualche valore di r, con somme che 

 indicherò con u [z] e m^'"(s) rispettivamente. 



Per la funzione u {z) così definita su 06^ (tranne forse in G) 

 valgono le seguenti proprietà. 



La funzione u (z) k continua in tutti i punti di OG (anche 

 in Gr se ivi è definita) ed ammette u""'^ (z) per derivata di ordine k 

 [anche in G se ivi è definita u""(z)] (^^). 



Quindi : in la u (z) ammette tutte le derivate, che valgono 



('') Queste proprietà valgono in particolare nel punto 0. Invece in Sa 

 (§ 6) si era dimostrato esser valevoli in solo sotto condizioni restrittive 

 imposte alla serie (21). 



