SULLA GEOMETRIA ASSOLUTA DEGLI SPAZI CURVI 187 



che corrisponde al generico ds^ =: dQ X dQ = clPyC^(^P in 

 tutto Cn, solo che nella (l), essendo Q funzione di t, anche s 

 è funzione di f. 



Il vettore dQ^ds dello spazio E'„+i in cui è immerso (7„, 

 è unitario, e si può porre, come d'uso : 



(2) t = dQlds. 



Sia T la geodetica uscente da ^ e tangente in Q alla linea 

 considerata, cioè tangente a. t , e siano Qi, Q^ punti rispetti- 

 vamente della linea Q e della linea t, situati alla stessa di- 

 stanza (arco) ds da Q. Sviluppando Qi e Q2 colla formula di 

 Taylor, e limitandoci ai differenziali secondi, si ha: 



Q^ = Q-^dQ-{-d^-QÌ2, 



Q,=:Q + dQ, 



perchè, per la geodetica t il d^Q, è nullo. Ne viene : 



Si conclude perciò che, in Eii^i, il vettore Qi — Q2 ha per 

 direzione limite, col tendere di ds a zero, quella del vettore 

 d^Qjds^, che può chiamarsi direzione della normale principale 

 in Q alla linea considerata. 



Inoltre, se h è la distanza di Qi da Q2, il limite di 2hids^, 



che può chiamarsi flessione — della linea Q, nel punto Q, è 

 .appunto il mod {d'^Q'ds^). Si ha dunque: 



l direzione normale principale in Q: —-j =— , 



(3) 



ì u ■ -/-il 1 d^Q 1 <ii 



f flessione in Q: = mod -7-5- = mod ^r- , 



\ '^ P ds- ds ' 



e se si pone : 



/ i \ dt / j dt 



(^^ '* = ds/"^^^ d^ ' 



si ha, come per la prima delle formule di Frenet nello spazio 



ordinario : 



,f,s dt l 



(5) -j- = - n . 



^ ' ds p 



Atti deìln R. Acmrlnnin — Voi. LTV. 13 



