188 TOMMAbO BOGGIO 



Ora si ha (Nota !■''): 



,Ì~Q D S d~P , . / dP\ dP 



ds^ ^ \ ds^ ^ \ ' ds ) ds \' 



quindi dalle (3) segue subito : 



^ direz. norm. principale in Q: P j ^^? + ^ («, -^) |f j 

 i 1 \ d'P , ^1 dP\ dP I ., \ d^P , ^( dP\ dP ì 



che esprimono gli elementi (3) in En, e corrispondono alle for- 

 mule (31), (32) date dal Bianchi a pag. 361 della sua Geometria 

 Differenziale (2* ediz., voi. 1°). 



Troviamo ora direttamente le (3'), operando in £'^, per 

 vedere appunto come questo procedimento sia più complicato. 



Chiamando Pi, Pg i corrispondenti di Qi, Q2 nella linea P 

 e nella geodetica che corrispondono, nello spazio E^, alla 

 linea Q e alla geodetica t> si ha, indicando con apici le de- 

 rivate rispetto ad s e con € l'arco PP^ PP2 : 



P, = PH-€P' + e2p" 2, 



P^ = P^eP' -e20(a, P')P' 2, 



avendo tenuto presente la (6) della Nota 1*. Ne segue: 



P^ — P2 = e^]P" ^0(a, P')P'( 2. 



La direzione limite di Pi ^ Pg è quindi P" + <t> (a, P') F 

 [Cfr. Bianchi, op. cit., pag. 364] , che ora occorre riportare 

 in Cn, applicando l'omografia p. Per il quadrato della distanza 

 di Pi da P2 si ha : (Pi — Pg) X « (A — A), e quindi per il 



quadrato di — in C,, si ritrova la seconda delle (3'). 



2. — 11 punto Q di C„ sia funzione di n — 1 variabili in- 

 dipendenti Mi, U2, ..., Un-i, cioè descriva una ipersuperficie 1.. 



Sia ^ il vettore unitario normale in Cn agli n — 1 vet- 

 tori dQ'dur (r ^= 1,2, ...,tt — 1) e formante con questi un si- 



