SULLA GEOMETKL\ ASSOLUTA DEGLI SPAZI CURVI 189 



stema destrogiro. Si dirà che iV" è la direzione della normale 

 a Z in ^. Si ponga : 



,^, \ o =: -— , per Q variabile in Z , 



(6) < dQ ' ^ ^ 



( a]^ =0 , per o operante fuori dei vettori normali ad iV, 



e così l'omografia (T è definita in tutto il campo Cn . 

 Essendo J^ unitario si ha : 



(7) J^Xd-y = 0, ovvero JVX<^dQ = 0. 



Un vettore x arbitrario di C„ ha direzione data da €N-\-dQ 

 (e infinitesimo costante), e quindi, per le (6), Ox ha direzione 

 data da ea y-\- GdQ = (^dQ = dW, perciò ne viene: 



i\rx<J^ = 0, cioè a;XK(yi\r=0, 

 che, per essere x arbitrario, porge : 



■ 



(8) K(j7V^=0. 



Operando con ò sulla iVX dQ = 0, e con d sulla Wy(òQ=0 

 e ricordando (Nota P) che dbQ =^bdQ si ottiene: 



bJ:^XdQ = dNX^Q^ ossia aòQ X ^W = <^dQ X'^Q , 



da cui: 



(^^X (Ka — a)ò^ = 0. 



Ma, nel campo Z, gli spostamenti dQ, ÒQ sono arbitrari, 

 inoltre, nella direzione JV, valgono le (6), (8), e quindi 

 (Ka — cr) iV= 0, perciò si conclude Ka — a == 0, ossia: 



(9) Ka = a, 



e perciò l'omografia (5 è una dilatazione. 



Si ritrovano dunque le proprietà di (J, analoghe a quelle 

 che valgono per una superficie dello spazio ordinario [Cfr. 

 BuRALi-FoRTf, Fondamenti per la Geometria differenziale su di 

 una superficie, ecc. (" Rendiconti del Circolo Matematico di Pa- 

 lermo a, tomo XXXIII, 1° sem. 1912)]. Ecco qualche altro esempio. 



