192 TOMMASO BOGGIO 



e similmente: 



òdh--=bPX gradp {dP X gradp h) = 



= òPX \/ dP=dPX—^f-òP, 



perchè l'omografia — ~r — è una dilatazione ; ne segue : 



(14) hdìi = dhh , (per h numero funzione di Po di Q). 

 Dalla dimostrazione della (14) segue subito: 



(15) ÒPX ^gi'adp/i = rfPX ^gradp/i. 



Sia ora \ una omografia, funzione di P, che trasforma 

 vettori di E^ in vettori pure di E^. Per a, h vettori costanti 

 arbitrari di En si ha dalla (14): 



hd{aX )^h) = dh{a X ^&), 

 da cui : 



a X òd\b = aXdò\b, 



la quale, per l'arbitrarietà di a e b, dà subito: 



(16) òd\ ^=c?ò\, (per X omografia funzione di P in En). 



Siccome, come abbiamo già osservato, si ha a = K P . P , 

 ne segue: 



da = Kd^.^±K^.d^, 



quindi, applicando ò si trae: 



òda=Kbd^. P + K(^p.òp + Kòp .(^P + Kp.ò<;p; 



scambiando deb fra loro, poi sottraendo, ne segue : 



[a] bda — dba = K (bd^ — db^) .p + Kp.(òc?p — c?òp); 



ricordando che (Nota 1*) 



bd^ — db^ = ^.e{a, dP, bP) , 



