SULLA GEOMETRL\ ASSOLUTA DEGLI SPAZI CURVI 195 



che, per la (20), dà subito : 



(21) d,QX {d,d,d,Q - d,d,d,Q) = \ \ d,d, {d,QX d,Q) + 

 -\-d,d,{d,QXd,Q)-d,d,{d,QXdiQ)-d,d,{d,QXdsQ)[4- 

 + d,d^Q X d,d,Q - d^d^Q X d.d^Q. 



Se cambiamo in questa 1234: in 3412, il 2° membro non 

 muta, pei ciò: 



(22) d,QX{d2did,Q-d,d,d,Q) = d,QXididsd,Q — d,d^d,Q). 

 In virtù della (18) si può dare alla (22) la forma notevole: 



(23) (^4 PX «0 (a, d, P, d2 P)d^P=d^PX^Q (a, ^3 P, d^P) d, P, 

 anche, per a, b, e. d vettori costanti di En'. 



(23') ft X «0 (a, e, d) a = d X «0 (a, a, b) e. 



Dalle (18), (21) si trae poi la seguente importante formula: 



(24) bXoiQ{oi,c, d) a = \]uX gradp[f« X gi-adp(& X ac)] + 



+ & X gi'adp [e X gradp [a X «fi)] — 



— r* X gtadp [e X gradp [b X «<*)] — 



— bX gi-ad,. [d X gradp [a X a^')] ( -f- 



+ 6 X ) i^<^ (a, e) a^ (a, d) —K<^ (a, ^Z) aO (a, e) ( «. 



Per ottenerla basta osservare che ritenuto, al solito, dP 

 vettore costante, si ha, ad es. : 



d^d^ [d^Q XdzQ)-= did^id^PX adsP) = 



= d, [d.PXgvRd id,PX<^d,P)] = 



= c^iPX gnid [d.PXsràdid.PXad.P]]; 



d.d^Q X d,dsQ = d,^ . d^PXd-,^ . 0^3^ = 



= P0 (a, d,P) d^PX PO (a, d^P) d,P = 

 = d^PX KO (a, 6^1 P) . a . (a, d^P) d^P; 



e che inoltre, per h numero funzione di P, si ha: 



a X grad (6 X grad h) = aX ^p b = bX ^^p « = 



=z b X grad (a X gi"ad /?). 



