196 TOMMASO BOGGIO 



6. — Vediamo ora come possono determinarsi delle spe- 

 ciali metriche a che realizzano uno spazio curvo C„, tale che 

 in ogni punto Q la curvatura riemanniana, secondo qualsiasi 

 giacitura, abbia un valor costante <a7f^. 



È noto (Nota 1^) che, per a, b vettori costanti di En, si ha: 



(«) ^^ = & X «0 (a, «> &) «il « X a« . & X a& — (a X «6)- ( , 



che deve valere qualunque siano a e b. 



Vediamo se è possibile soddisfare alla (a) con a numero, 

 e precisamente 



a = 1 9", 



essendo cp un numero reale, funzione di P: scegliamo inoltre 

 u, b unitari e ortogonali, in guisa dunque che a' =^ &^ = 1, 

 ed ayC^b^^O; allora la [a) diventa: 



(«,') <B/fo = ^^.bXQil^'- e, à) a q>K 



Se, per brevità di scrittura, poniamo: 



(6) a = gradp {l/cp2) ^ — (2 grad^ cp)/(p3, 



allora, per la (24), la {a') diventa: 



<d//; = -\cp^)bX gi-ad {b X u) + a X grad {a X w) ( T 



-^<p'bx]K<ì>[^,,a)cp[^,,b)-K<p[-^,b)0['^,,a)\a, 



ovvero : 



Ora, dall'espressione dell'omografia O (Nota 1^) e dalle 

 formule di Pieri sull'operatore S, si ha subito, ad es. : 



2 n, , a^ = cp2 ) M X ^t + H (h, a) — H {a, u) { , 



