SULLA GEOMETRIA ASSOLUTA DEGLI SPAZI CURTI 197 



onde: 



2 i'\ , a\b = q>^ (u X a . b -\- u X ^> ■ ff'ì , 

 20l\,a\a = q)^2n Xa -d — u), 



perciò la (e) assume la forma: 



-f ^ (P« 1 3 (w X a)' + 3 (u XàY — u^. 



Si consideri ora in E,^ il sistema unitario ortogonale di 

 vettori ai, a^, ..., <«« e si applichi la {e') alle coppie («i, «9), 

 («2» fi^zìì •••> (^^«-1. <*n), (^«», <'«i) e si sommino le formule risul- 

 tanti; si ottiene subito: 



[d) »^ g7?^ = — (p4 . div u + ^ cp'^ (6 — w) u-. 



Sostituendo qui ad u il suo valore (ò) risulta : 



w<^«^=2(p'^.div^^4^ + (6— w) (gradcp)2 = 



= 2(p4 (^ Aqp + grad^ X grad cp) 4- (6 - n) (grad <p)^ = 

 = 2(p^ j ^\ Acp - 1 (grad cp)'^ J + (6 - n) (grad (p)^ 



e riducendo : 



(25) 2(pA(p — w(gradp(p)^^ we7if^, 



che è l'equazione differenziale che determina qp in funzione di P. 

 Quest'equazione differenziale è la forma assoluta che as- 

 sume la seconda delle condizioni (18) date a pag. 345 del voi. 1° 

 del Bianchi (ove la ?7 è qui sostituita dalla qp) ; la prima 

 delle (18) equivale a 



