SULLA GEOMETRIA ASSOLUTA DEGLI SPAZI CURVI 199 



Vediamo se si può soddisfare alla (25) assumendo: 



(p =2> + « X {P- 0) + (P- 0) X X {P- 0), 



ove p, a, X indicano rispettivamente un numero, un vettore, e 

 una dilatazione, costanti; sostituendo nella (25) ed eguagliando 

 i termini di grado 1 e 2 nei due membri si hanno le equazioni: 



(P- 0) X (IiX . X - n\^) [P- 0) = , 



che sono soddisfatte solo per Ti\ = wX; e siccome questa 

 mostra che X deve essere un numero, siamo ricondotti alla 

 forma {e). 



7. — Supponiamo ora n -■= 3, cioè sia C„ uno spazio curvo 

 a 3 dimensioni. 



Abbiamo già visto, nel § 4, che, per a, h vettori costanti 

 di En, l'omografia a0 (a, <t, 6) è assiale; quindi, per ?? = 3, e 

 solo in tal caso, si ha : 



(29) a0 (a, a, 6) = V j a (a, a, h)\^. 



Ma (a, a, h) è funzione alternata di a e h, quindi deve 

 esistere un'omografia, funzione solo di a, che indicheremo con X^, 

 tale che 



(30) \]a(è{a,a,h)[ = K{aM)), , 



perchè anche V 5 a0 (a, r/, />)( è un vettore funzione alternata 

 di a e b. 



Ne segue che la {a) del i? 6 porge, per la curvatura rie- 

 manniana a^ relativa alla giacitura individuata da P~^^/, ^~^b\ 



,irf= ft X ( X:> (<e A h) \ A a _aJ\bX^a/, h) 



a'Xaa.by^ab — iayiabf aAftX(««Aa^) ' 

 cioè: 



f^^__ a A by K uja A à) 

 ■~"«A&XRa(«Aft)' ' 



La curvatura o/iT di Rieniann si può dunque (sempre 

 per n = 3) considerare determinata da un vettore A* di En tale 



