204 ORAZIO LAZZARINO 



Ponendo inoltre 



(11) q>, = {ìl2){gvadFy ; cp, = QXgrsiàF — F 

 si ha, tenendo conto della (9), 



gradii qpi = P grad F ; gradii qpg = 3 Q 



e quindi, risolvendo la (10) rispetto ad Q' e sostituendo, si 

 ottiene 



(12) Q'= (I3P)-'. grad cpi A gradcps 



dove il fattore I3P è notoriamente l'Hessiano della funzione F. 

 Per eliminare I3P basta sostituire a t la variabile t defi- 

 nita dalla relazione 



(13) ^ = 13? 



in virtù della quale si ha immediatamente l'equazione 



(14) -^ = grad cpi A grad (P2 



che è del tipo (3) e. d. d. 



Se la funzione Fé di 2° grado in Q, saranno tali anche fi 

 ed f2 ; poi dalla (9) risulta che P è costante e quindi anche I3 P 

 ha valore costante. Indicando con a tale valore, si ricava 

 dalla (13) 



^ = a (t — To) 



dove Tq è una costante arbitraria. Ponendo in questo caso 



A = (1 '2a) . (grad Fy = cpja ; A = « X grad F—F=q>,, 



la (14) diviene 



(14') Q'^gradfi Agrad/'a. 



Potendosi trascurare nella F il termine indipendente da Q, 

 risulta senz'altro, dal teorema di Eulero sulle funzioni omogenee, 

 che, per ottenere l'espressione della f^, basta trascurare in F 

 il termine di primo grado in Q. 



