SULLA GENERALIZZAZIONE DEI MOTI ALLA POINSOT, ECC. 207 



Cerchiamo i punti d'intersezione della curva (20i) con un 

 piano arbitrario la cui equazione, indicando con lì un vettore 

 e con m un numero reale, può scriversi 



(21) {P,-0)Xd = m. 

 Sostituendo qui a Pj l'espressione (20i), si ha 



(22) ml^^{ma^—cX(l)P^{ma^—hXà)l^{mai—ayid) = ^, 



e, poiché questa equazione è di terzo grado in l, si conclude 

 che " un piano generico taglia la curva in tre punti e quindi 

 " questa è una cubica gobba {*) e. d. d. „ . 



Come risulta dalla (20'), supposto il^f,=f=0, il punto Pi va 

 all'infinito quando / è tale che l3(^ — a) = 0, cioè quando l è 

 uguale ad uno dei tre momenti principali d'inerzia del sistema 

 relativi al punto fisso 0. Posto poi Pi = -\- ìiu, con u vet- 

 tore unitario ed n numero reale, dalla (20) si ha 



{l — a) w = Mijn , 



perciò, se P^ va all'infinito, si ha {l — a) t* = cioè au =: lu 

 e quindi " i tre asintoti della curva sono paralleli agli assi prin- 

 " cipali d'inerzia relativi ad e tagliano i piani diametrali in 

 " punti di cui è facile assegnare l'espressione in base alla (20) „. 

 Indicando con A, B, C i momenti principali d'inerzia e con 

 Li, Lg, L3 i corrispondenti asintoti, si vede facilmente che la 



(*) Per dimostrare che la (20') è l'equazione di una cubica gobba si può 

 anche seguire quest'altro procedimento: Siano Ai, Aj, A3 tre punti qua- 

 lunque non allineati, la curva incontrerà il piano da essi determinato nei 

 punti che corrispondono ai valori di l, per i quali si ha 



(P, - J.) X U^ - Ai) A (^^3 - Ai) - 



ossia, per la (20'), 



[I3 (l-a).{0- Ai) -f R (/ - a) Mi] X [A, - Ai) A (^3 " ^1) =- 



e, poiché questa è un'equazione di 3° grado in /, la curva è una cubica 

 gobba, e. d. d. 



