208 ORAZIO LAZZARINO 



detta cubica è formata da tre rami g^, g^, g^. Supposto A^B'^C 

 il primo ramo gì parte dal punto — oo di Li e va al punto -|- oo 

 di L2 e corrisponde ai valori di / compresi tra AeB; il se- 

 condo ramo g^ va dal punto — 00 di L2 al punto di + ^ di L3 

 e corrisponde ai valori di / compresi tra B e C; finalmente il 

 terzo ramo g^ va dal punto — 00 di Ls al punto + co di L^ 

 e corrisponde ai valori di / maggiori di .-J e a quelli minori 

 di C, esso passa anche per l'origine che corrisponde ad ^ = 00 . 

 Da ciò si conclude che " la curva è una iperbole cubica „. 



Volendo ora trovare la condizione perchè la cubica sia 

 piana, si osserva che, in tale ipotesi, la curva dovrà avere in- 

 finiti punti in comune con un piano e, se tale piano ha per 

 equazione la (21), si trae che la (22) deve avere infinite radici. 

 Per questo è necessario e basta che i coefficienti della (22) 

 siano nulli, che cioè si abbia 



M = 0, cX^ = 0, 6X^ = 0, aXd = 0. 



La prima di queste equazioni esprime che il piano (21) 

 passa per il punto 0, le altre tre dicono che i vettori a, 6, e sono 

 normali al vettore d e che quindi devono essere tra loro com- 

 planari ; perciò la condizione necessaria e sufficiente perchè la 

 cubica sia piana è espressa dalla relazione 



aXb Ac = 0. 



Nel caso della (20") questa condizione assume la forma 

 MiXoi^iA RaMi^O 

 che equivale a quest'altra 

 (23) Mi X «M, A a2 Jjr = . 



Si può. inoltre dimostrare che in questo caso " la (23) esprime 

 " anche la condizione necessaria e sufficiente perchè la cubica si 

 " spezzi in curve di ordine inferiore „. 



Infatti, la (20") equivale alla (17) e da questa, indicando 

 rispettivamente con p, q, r e con mi, m^, Wj le grandezze delle 



