210 ORAZIO LAZZARINO 



Infatti, in tal caso i cilindri (171') e (17'(,') hanno lungo la 

 comune generatrice (retta impropria del piano OiJ) i piani tan- 

 geiiLi (e), sopra indicati, i quali sono certamente distinti, perchè 

 in caso contrario sarebbe {C — B) -{- {A — C) = ossia B — A = {). 

 D'altra parte, i cilindri stessi sono, nella fatta ipotesi, entrambi 

 irriducibili. Dunque la cubica, essendo l'intersezione di due ci- 

 lindri irriducibili che hanno vertici diversi, una generatrice 

 comune e, lungo questa, piani tangenti diversi, deve lisultare 

 necessariamente irriducibile. 



Resta con ciò dimostrato che la condizione (23) è anche 

 necessaria e quindi, tenendo presento il significato cinematico 

 dell'annullarsi dei coefficienti [C — B), ... nii ... , si può conclu- 

 dere che " la condizione necessaria e sufficiente perchè la cubica 

 " luogo delle posizioni di equilibrio dell'indice di rotazione Pi si 

 " spezzi in curve di ordine inferiore è che l'ellissoide d'inerzia 

 " del sistema, relativo al punto fisso, sia di rivoluzione attorno ad 

 " litio degli assi principali d'inerzia, oppure che vi siano condi- 

 " zioni tali per cui il vettore momento JUi dei moti interni debba 

 " muoversi costantemente in uno dei piani principali d'inerzia „. 



In particolare, la condizione (23) sussiste evidentemente 

 anche quando l'ellissoide d'inerzia è una sfera, oppure il vet- 

 tore Mi si mantiene costantemente parallelo ad uno degli assi 

 principali d'inerzia. 



Se poi, verificandosi questa seconda ipotesi, l'ellissoide 

 d'inerzia è di rivoluzione attorno ad OMi, allora, come risulta 

 dalle {17"j, la cubica si spezza in una retta e in un piano. 



E facile esaminare quando questo luogo cessa di essere 

 una curva; perciò basta osservare -che la (17) può scriversi 



(17'") Q AaQ^-Q AilHi = 0. 



Perchè questa equazione sia soddisfatta qualunque sia Q, 

 cioè per ogni posizione del punto Pi, è necessario e basta che 

 siano separatamente nulli i termini di secondo e primo grado 

 in Q, cioè 

 (24) fì A aQ = , Q A iHf.- = . 



Essendo Q arbitrario, la prima delle (24) esprime che qìia- 

 lunque direzione è unita per l'omografia a, perciò a è necessa- 



