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mantiene positivo per tutti i valori di l minori di Ce per tutti 

 quelli maggiori di ^ : è^ non cambia di segno quando / passa 

 per i valori A,B, C: e) cambia di segno due volte soltanto, una 

 prima volta per / compreso tra C e B ed una seconda volta 

 per l compreso fra E ed A. 



Questi due particolari valori di l sono radici dell'equazione 



(31) N = 31, X a (^ — «rM/, = . 



Dopo ciò, tenendo anche presente quanto si è detto nel § 2, 

 si può concludere che "il 2° teimine dell'equazione (30) sarà 

 " positivo lungo il ramo g^ dell'iperbole cubica e in due parti 



* dei rami gì, g^i adiacenti ris[iettivamente ai punti allinfinito 

 " degli assintoti L^^ L^, e sarà negativo nelle due parti residue 

 " dei rami ^i, g^ che sono adiacenti al punto all'intinito di L^. 

 " Ai detti valori positivi corrisponderanno jmnti isolati delle 



* quartiche (15) e quindi assi di rotazione permanenti stabili-, 

 " mentre ai valori negativi corrisponderanno nodi delle quartiche 

 " e quindi assi di rotazione permanenti ma instabilì. 



" In corrispondenza poi dei valori di / che sono radici del- 

 " l'equazione (31). si avranno i punti di passaggio dalle rotazioni 

 " stabili alle instabili, e viceversa „. 



Si può ancora dimostrare che " in questi punti di passaggio, 

 " l'iperbole cubica risulta tangente alle quadriche del sistema (15) 

 " che si toccano in essi „. 



Infatti, derivando la (19') rispetto ad l, si ha il vettore 



(31') ^ = -il-ar^M,, 



che dà evidentemente la direzione della tangente, in P^, alla 

 cubica. Si dimostra che, se è verificata la (31), questa tangente 

 giace nel piano tangente comune, in Pj , alle quadriche (15). 



Invero, la normale a tali quadriche ha la direzione del 

 vettore gr&dfa, cioè, per la seconda delle (5'), del vettore aQ, 

 ossia, per la (19), del vettore a(/ — a)~^Mi, e allora la (31), 

 che può anche scriversi 



a (^ — a)-' Mi Xil— a)-' Mi = 0, 



