316 GUSTAVO SANNIA 



Negli ultimi anni questi ed altri classici risultati sono stati 

 estesi in vari modi (da H. Bohr, M. Riesz, C, H. Hardy, 

 P. Nalli, ecc.), cioè trattando le serie di Dirichlet con metodi 

 di sommazione differenti (più potenti dell'ordinario), quali il 

 metodo di Cesavo, il metodo di Borei, ecc. 



Estensioni non meno ampie conseguiremo in questa Nota, 

 trattandole col metodo di Borei generalizzato (^). 



§ 1. — Definizioni e teorema fondamentale. 



1. — Secondo la teoria generale (L, n^ 1), per trattare 

 la (1) col metodo di Borei generalizzato, dovremo considerare 

 la serie associata di ordine r 



(2) M<" (a. z) = > , "-^t\ T7 • \ {') 



e l'integrale associato di ordine r 



(3) r e"'-' u^'^a, z) da (a ^ 0) 



Jo 



ove r è un numero intero qualunque. Quando è negativo com- 

 paiono nella serie di potenze (2) dei termini (fittizi) ove w„+r+i 

 ha l'indice negativo: sono nulli per convenzione. 



Ciò posto : se per un valore fissato (reale o complesso) di z, 

 esiste un intero r, tale che la (2) risulti una trascendente in- 

 tera rispetto ad a e che l'integrale (3) sia convergente, si dirà 



(*) Che ho esposto in una Memoria e poi, in succinto, in una Nota in- 

 serita negli " Atti della R. Accademia dei Lincei „ (voi. XXVI, serie 5*, 

 1" sem., fase. 11°) e che in seguito indicherò con una L. 



Invocherò anche spesso la recente Nota (che indicherò con una S): 

 Serie di funzioni sommabili uniformemente col metodo di Borei generalizzato 

 (Questi Atti, voi. LIV, pag. 171). 



(^) Nell'esporre in L la teoria generale abbiamo ragionato sulla serie 

 del tipo «0 "h Wi -j- wj + ..., ove l'indice del primo termine è zero, mentre 

 che nella (1) il primo indice è uno. Di ciò va tenuto conto nel formare la 

 serie associata di ordine r. ' 



