LE SERIE DI DIRICHLET, ECC. 317 



che la (1) è sommabile {B, r) (cioè col metodo di Borei di or- 

 dine r) nel punto «, e che ha per somma 



(4) u (z) = IJ,_^ [z) + r e-« w" ' (a, z)da, 



ove 



(5) C^,_,(^) = Oser<0, C^,-i(^)=f^ + |!+ ... +~ se r> 



0. 



Si dirà poi (S, n" 2) che la (1) è sommabile {B, r) unifor- 

 memente in una regione al finito A del piano complesso quando 

 la serie (2) (considerata come serie di funzioni delle due varia- 

 bili z Q a) Q convergente uniformemente per 



(6) z m. A e a nell'intervallo (0, m) 



qualunque sia w >- 0, ed inoltre l'integrale (4) è convergente 

 uniformemente in A. 



2. — Risulta dalla teoria generale (L, n" 2) che: se per 

 un valore di z una serie di Dirichlet (1) è sommabile con uno degli 

 infiniti metodi della successione 



(7) ...,(^,-2), (5,-1), (5,0), (5,1), (5,2),... 



ed ha per somma u (z), lo è pure con tutti i precedenti (^) e con 

 ugual somma. 



Ciò assicura che la definizione della funzione u [z] non di- 

 pende dal parametro r e rende lecite le seguenti definizioni : 



In un punto z la (1) è sommabile Bg (ossia col metodo di 

 Borei generalizzato) quando è sommabile con qualcuno dei me- 

 todi (7) (e quindi coi precedenti) ed è sommabile Bt (cioè total- 

 mente sommabile) quando è sommabile con tutti i metodi (7). 



3. Teorema. — Se una serie di Dirichlet (1) è sommabile (B,r) 

 in un punto Zq, lo è pure in tutti i punti z del semipiano 



(8) R{z)>R [z,) ; 



(^) E non col seguente in generale. 



