318 GUSTAVO SANNIA 



inoltre la sommabilità è uniforme in ogni regione al finito A in- 

 terna al semipiano. 



Evidentemente basta dimostrare solo la seconda parte (^), 

 poiché ogni punto z del semipiano può immaginarsi contenuto 

 nell'area A (che è arbitraria). 



A tale scopo, consideriamo la serie di potenze di una va- 

 riabile reale x 



(9) /-(a:) = -^ -f i^ a; -f ... + -^ x-^ + ... 



Per x = l questa serie si riduce alla (1) ove si ponga z=:zq, 

 quindi, giusta l'ipotesi, è sommabile (£, r) per a* = 1 ; dunque, 

 per un teorema generale sulle serie di potenze (S, n° 7), è pure 

 sommabile {B,r) ed uniformemente nell'intervallo 0<a;<l, 

 dove avrà per somma una funzione f{x) di x {^). 



Poi, fissato un punto z nella regione A prestabilita, con- 

 sideriamo la funzione 



g {z, x) = (log ^j"'""' -= f-"^-' {x - e-y) 



per i valori x dell'intervallo (0, 1); escluso x = 0, ossia per i va- 

 lori y dell'intervallo (1, + oo), ed osserviamo che il suo modulo 



\g{z,x)\ = (log J_)^<^-^»^ -^ = yB(.-.,)-i 



è funzione continua di x nell'intervallo (0, 1), tranne nell'e- 

 stremo ic = che è un suo punto di infinito. 



(*) Per il caso particolare r = 0, ossia quando si considera il metodo 

 di sommazione originario di Borei, che è appunto il nostro (B, 0), la prima 

 parte del teorema è stata dimostrata da C. H. Hardy nella Nota: The ap- 

 plication to Dirichlet's seìHes of Borel's exponential method of sommation 

 C Proceedings of the London Math. Soc. ,, serie 2*, voi. 8°, 1910, pag. 277). 



(^) Espressa dall'integrale 



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aumentato (se r >• 0) della somma dei primi r termini della serie (9). 



