LE. SERIE DI DIRICHLET, ECC. 319 



Infine l'integrale euleriano di seconda specie 



J{z) = {\g (0, x) \ dx =-- [^e-y </«(«-'o)-i dy 

 Jo Jo 



è convergente in ogni punto z del semipiano (8), e quindi del- 

 l'area A, ed è una funzione di z che è limitata (e positiva) in A. 

 Tutto ciò permette di dedurre (^) dall'uguaglianza (9) la 

 seguente 



00 



n=l 



i^£K^r"-"-''^-=iòKir"Vw<'^. 



per ogni 2; di ^, e di asserire che il primo membro è una serie 

 di funzioni di z che è sommabile {B, r) uniformemente in A. 



Ora questa serie non è che la (1), a prescindere dal fat- 

 tore V [z — Zq) comune a tutti i suoi termini, perchè, com'è noto, 



[^ (log -M' '" ^ a;"-i dx = Te-"?/ z^-^'>-'^dy = 

 Cosi il teorema è dimostrato. 



r {z — zq) 



0) In virtù del seguente teorema, dimostrato al n° 6 della nota S: 

 Sia cr (z, x) una funzione della variabile reale x in un intervallo (a, b) e 

 della variabile complessa z in una regione al finito A, tale che, in ogni punto z 

 di A, |g(z, x)| sia funzione continua rispetto ad x in (a, b), tranne al più 

 nell'estremo x = a che può essere un suo punto di infinito; e tale inoltre che 

 l'integrale 



J{z)— \g(z, x) I dx 

 sia convergente e limitato in A. Allora, se 



OD 



. ^f,Jx) = f{x) 

 n—0 



è una serie di funzioni continue di x in (a, b) che ivi sia sommabile (B, r) 

 uniformemente con somma f(x), si ha 



2j I 9' (2^. ^) /■" {^) dx -=\g{z,x)f {x) dx 

 n=0 



e la serie al primo membro è sommabile (B, r) uniformemente in A. 



