320 GUSTAVO SANNIA 



CoROLL. — Segue da ciò che: la somma u (z) di (1) nel 

 semipiano (8) si 'può dedurre da quella f (x) della serie di po- 

 tenze (9) nell'intervallo (0, 1) mediante la formola 



§ 2. — Semipiani di sommabilità. 



6. — Dal teorema precedente (1* parte) si deduce subito 

 ■che esiste un numero reale s^, ascissa di sommabilità (J5, r) 

 della (1), tale che la (1) è sommabile {B, r) nei punti z dove 

 B{z)'^s,. e non lo è nei punti dove B{z)<^Sr. 



I primi formano il semipiano Or di sommabilità (B, r) della (1), 

 in ogni regione al finito A del quale la sommabilità è uniforme. 



Tutto ciò naturalmente quando non accada che la (1) sia 

 sommabile {B, r) in tutti i punti o in nessun punto del piano. 

 Però questi casi limiti possono inglobarsi nel caso generale, 

 convenendo di dire che è s^ = — oo nel primo caso e s^ = -|- oo 

 nel secondo. 



7. — Variando r da — oo a -f- oo, ossia applicando alla (1) 

 tutti i metodi di sommazione (7), si ha per ogni serie di Di- 

 richlet una successione di ascisse di sommabilità 



(10) ..., S_2, S_i, Sq, .9i , §2? ••• 



e, corrispondentemente, una successione di semipiani di sommabilità 



(11) ..., a_2, a_i, (Jo, 01, 02, ... 



Dal teorema del n° 2 risulta che: la successione (10) è cre- 

 scente quando varia (da sinistra a destra) 



(*) Ciò è estensione di un noto risultato di E. Cahen (* Annales de 

 l'École Normale „, t. II, 1894, pag. 75), relativo al caso in cui si considera 

 la sommabilità ordinaria (convergenza) della (1). 



