LE SERIE DI DIRICHLET, ECC. 321 



e quindi che i semipiani (11) son tali che ciascuno contiene il 

 seguente (senza escludere la coincidenza). 



Ne segue che la successione (10) ammette un limite s per 

 r = — 00 (ascissa di somniabilità Bg) e un limite t per r= -|- oo 

 (ascissa di sommahiUtà Bt), il primo minore o uguale ed il se- 

 condo maggiore o uguale a ciascun termine della successione. 



Del pari, i semipiani (11) ammettono un semipiano limite a 

 per r = — oo (semipiano di sommahiUtà Bg), che li contiene tutti, 

 ed un semipiano limite per r ^= ■]- ce (semipiano di sommahi- 

 Utà Bt), che è in tutti contenuto. 



Nei punti del primo, cioè tali che B(z)'^s, la (1) è som- 

 mabile Bg; nei punti del secondo, cioè tali che R(z)'^t, la (1) 

 è sommabile Bt (n° 2). 



L'ordinario seniipiano di convergenza T è contenuto nel semi- 

 piano T, cioè nel più piccolo (per così dire) dei semipiani di 

 somniabilità, perchè (L, n" 2) ogni serie convergente con 

 somma u è pure sommabile con tutti i metodi (7) e con ugual 

 somma. 



8. — I semipiani di sommabilità a, a^ (r intero) e t sono 

 limitati a sinistra dalle rette di sommahiUtà 



R(z) = s, R(z) = Sr, B(z) = t, 



parallele all'asse immaginario. 



Nei punti della retta che limita <S è dubhio che la serie (1) 

 sia sommabile Bg. 



Nei punti della retta che Ihnita C,. è dubbio che la (1) sia 

 sommabile (B, r), ma è certamente sommabile (B, r — 1) se a,._i 

 non coincide con a,.; perchè allora cr^_i contiene (in senso 

 stretto) (J,. e la retta che lo limita. 



Nei punti della retta che limita t la (1) è sommabile Bt in 

 generale, ossia se r non coincide con qualche (T^ (e quindi con (7,.+i, •••); 

 perchè allora la retta è interna (in senso stretto) a tutti i semi- 

 piani a,.. 



La distanza tra due successive rette di sommabilità limitanti 

 i semipiani Or (H) non supera tino, cioè è sempre Sr+i — s^ < 1 . 



Ciò segue subito dal teorema : 



Se una serie di Dirichlet è sommabile (B,r) in impunto z=:Zo, 

 è sommabile (B, r -fi) nel punto z := Zq -\- 1. 



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