322 GUSTAVO SANNIA 



Infatti abbiamo visto (dimostrando il teorema del n" 3) 

 che, se (1) è sommabile {B, r) per z = Zq, la serie di potenze (9) 

 è sommabile {B, r) per 0<a;<l. Integrandola termine a ter- 

 mine fra i limiti e ic, si ha una serie 



"' r -4- - "' r2 -A '^^^ r3 -\- 



cAg s«rà sommabile {5, r -(- 1) per < a; < 1 (^). Ora questa 

 serie per x = ì sì riduce alla (1) calcolata nel punto z = Zq-\-1(^). 



§ 3. — Proprietà di u (z) e serie derivate della (1). 



9. — Dalle relazioni mutue tra i semipiani di sommabilità^ 

 trovate al n° 7, segue che ogni regione al finito A interna al 

 semipiano cr è anche interna ad almeno uno a,, dei semipiani (11) 

 (ed a tutti i precedenti); ed allora (n° 6) la (1) sarà somma- 

 bile {B, r) uniformemente in A. Ora, poiché i suoi termini sono 

 funzioni analitiche regolari, possiamo affermare {^) che: la sua 

 somma u (z), definita dalla (4), è anch'essa una funzione ana- 

 litica regolare nei punti z di A, nei quali avrà per derivate 

 successive w^''' (z) le somme delle corrispondenti serie deri- 

 vate (l)ft di (1), serie che saranno del pari sommabili {B, r) in A, 



(^) Infatti in ogni punto x in cui una serie di potenze o, + «2^ ~h 

 UsX^ -\- ... e sommabile (B, r) la serie (integrale) Wq + ^i^H — ^^^+-5^^^ ■+"•••. 



ove Uq è una costante arbitraria, è sommabile iB, r + 2). Ciò segue da un 

 teorema dimostrato in un precedente lavoro : Le serie di potenze di una 

 variabile sommate col metodo di Borei generalizzato, Nota I, n° 19 (Questi 

 Atti, voi. LUI, pag. 192). Sopprimendo poi il termine «o» si ha una serie 

 che sarà sommabile {B, r 4" !)• (S, n° 3, coroll. 2°, nel cui enunciato vanno 

 scambiati r — n e r -\- n). 



(^) I risultati di questo § hanno grande analogia con quelli ottenuti 

 da H. BoHR trattando la serie di Dirichlet col metodo di Cesàro (" Comptes 

 Rendus ,, t. 148, 1909, pag. 75, e " Nachr. Gesellschaft Gottingen ,, 1909, 

 pag. 247). 



(^) Per un teorema dimostrato in S (n* 5) e che è estensione di un 

 noto teorema di Weierstrass sulle serie uniformemente convergenti di fun- 

 zioni analitiche regolari. 



