LE SERIE DI DIRICHLET, ECC. 323 



Essendo A arbitraria in (J, ne deduciamo che ciò vale in 

 tutti i punti interni a a (ed al finito), e che inoltre il semi- 

 piano al''' di sommabilità {B, r) della (1)^ contiene a^. 



Viceversa: e,, contiene o"*,''' (e perciò c^ e at^' coincidono). 



Basta dimostrarlo ragionando sulla prima serie derivata 



(1). - 2 V '°8 



n. 



Sia infatti Zq un punto fisso interno a a,, (e quindi anche 

 a o',) e 2; un punto qualunque interno a o, • Sul segmento Zq^ 

 (che è interno a (J^) la (l)t è sommabile (B, r) uniformemente; 

 ma i suoi termini sono funzioni continue, dunque (S, n* 3 e 5) 

 sarà pure sommabile (5, r) la serie 



m- 



n" fi"" 



tl=l 



che si ottiene integrandola termine a termine lungo il segmento. 

 Ma anche la serie 



00 



n=l 



n 



n'o ' 



ossia la (1) per z z= Zq, è sommabile {B, r); dunque (L, n° 3, III) 

 tale sarà pure la (1) nel punto z considerato, perchè nasce som- 

 mando le ultime due serie termine a termine. 



Infine, poiché o'^ e a',*' coincidono, coincideranno pure i ri- 

 spettivi semipiani limiti a e a*"', t e t'''' per r = — oo ed r^ — oo. 



Concludendo: una serie di Dirichlet (1) e tutte le serie sue 

 derivate (1);, ammettono i medesimi semipiani di sommabilità cr, a,, 

 (r intero) e r. Nell'interno di G la serie ha per somma u (z) una 

 funzione analitica regolare che ha per derivate u**' (z) le somme 

 delle serie derivate. 



Cagliari, 29 dicembre 1918. 



L' Accademico Segretario 

 Carlo Fabrizio Parona 



