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ellittica ; quindi mi è parso che mettesse conto di esaminare la 

 questione analoga per le varietà abeliane a tre dimensioni. Vi 

 era infatti da essere quasi sicuri che la ricerca avrebbe con- 

 dotto a risultati degni di attenzione. 



E, se non erro, l'attesa non è stata delusa, poiché mi sono 

 imbattuta in due tipi di varietà abeliane a tre dimensioni pure 

 (cioè, appartenenti a matrici riemanniane pure), due volte sin- 

 golari e con l'indice di moltiplicabilità eguale a 5, che costitui- 

 scono i primi esempi esplicitamente noti di varietà sì fatte (^). 



1. — Diciamo V una varietà abeliana (^) a tre dimensioni 

 dotata di una trasformazione birazionale periodica, la quale, 

 fissata una rappresentazione parametrica della varietà mediante 

 funzioni abeliane di tre argomenti, sia rappresentata analitica- 

 mente da una sostituzione lineare sui parametri avente per 

 moltiplicatori tre radici dell'unità distinte e appartenenti tutte a 

 uno stesso esponente. 



Indichiamo con T codesta trasformazione e con r l'espo- 

 nente a cui appartengono i tre moltiplicatori della corrispon- 

 dente sostituzione lineare sui parametri, o, come anche diremo, 

 di T. 



Badando alla sostituzione riemanniana S della matrice di 

 Riemann cui appartiene F, legata alla trasformazione T {''), e 

 ricordando un teorema noto (^), si ha subito che deve essere 



(1) m qp (r) = 6 , 



essendo m un intero positivo e qp (r) l'indicatore di r; e inoltre, 



poiché i nostri tre moltiplicatori debbono essere distinti, dovrà 



essere 



9 {r) > 3. 



(^) Una prima classificazione delle varietà abeliane a tre dimensioni 

 0, ciò che fa lo stesso, dei corpi di funzioni abeliane a tre variabili, è 

 stata data dai sig''' Humbert e Levy in una loro Nota inserita nei Comptes 

 Rendus del 1914 (t. 168, p. 1609); un'altra, piìi completa, dal sig'' Scoeza 

 in una sua Nota inserita nella stessa raccolta (settembre 1918). 



(*') Per la definizione di varietà abeliana vedi loc. cit. (*), nota *') a 

 pie di pagina. 



C) Cfr. loc. cit. ('), parte II, n" 2. 



(8) Vedi loc. cit. (*), parte I, n" 25. 



