SOPRA UNA CLASSE DI VARIETÀ ABELIANE, ECC. 445 



Poiché nessun intero ha l'indicatore eguale a 3, sarà ad- 

 dirittura 

 (2) qp (r) > 3 ; 



e allora le (1) e (2) danno 



m = l, (p(r) = 6, r=7, 9, 14ol8. 



Di qua si vede intanto che : 



La trasformazione T ha il periodo 7, 9, 14 o 18; 

 e che : 



L'equazione caratteristica di S è l'equazione di 6° grado alle 

 radici primitive settime, none, quattordicesime o diciottesime del- 

 l'unità. 



Poiché tale equazione è (irriducibile nel corpo dei numeri 

 razionali e quindi anche) priva di radici multiple, tra i molti- 

 plicatori di T, per un teorema noto (^), non ve ne possono 

 essere due imaginari coniugati; quindi codesti moltiplicatori 

 non solo sono tutti distinti, ma sono anche a due a due non 

 imaginari coniugati. 



2. — Ciò posto, supponiamo in primo luogo che T abbia 

 il periodo 7 e indichiamo con a uno 'dei suoi moltiplicatori, 

 cosicché a sarà una radice primitiva settima dell'unità. 



Poiché le radici primitive settime dell' unità sono date 



tutte da 



a, a2, a', a*, a^, a^, 



e fra queste a^, a^, a* sono coniugate rispettivamente ad a, a^ 

 e a^, gli altri due moltiplicatori di T saranno : 



1) a2 e a^, oppure 



2) a^ e a*, oppure 



3) a' e a"^, oppure 



4) a^ e a^. 



Se i moltiplicatori di T sono a, a^ e a^, quelli della sua 

 terza potenza sono a^, a^, a; se i moltiplicatori di T sono a, 

 a* e a^, quelli del suo quadrato sono a^, a, a» ; quindi in ogni 



(9) Loc. cit. (*), parte T, u* 22. 



