SOPRA UNA CLASSE DI VARIETÀ ABELIANE, ECC. 449 



Un calcolo diretto, un po' faticoso ma del tutto elementare, 

 mostra che i sistemi nulli della matrice (I) sono tutti e soli 

 quelli della rete individuata dai tre sistemi nulli di S^ che (con- 

 cepiti come connessi di punti) sono rappresentati dalle equazioni: 



(1, 2) + (1. 3) + (1, 5) + (1, 6) 4- (2, 3) + (2, 6) + (4, 5) + 



(4, 6) -f (5, 6) = 



- (1, 3) 4- (l, 4) - (1, 5) - (2, 3) - (2, 6) + (3, 4) + (3, 6) - 



(4, 5) - (4, 6) = 



(l, 3) -f (1, 5) + (2, 3) + (2, 4) -f (2, 5) -f (2, 6) + (3, 5) + 



(4, 5) + (4, 6) = 



dove (r, s) sta per il binomio Xrì/s — Xsyr e \e Xr e le </, sono 

 coordinate correnti di punto in S^. Analogamente i sistemi nulli 

 della matrice (III) sono tutti e soli quelli della rete individuata 

 dai tre sistemi nulli rappresentati dalle equazioni: 



(1,2)4- (1.6) + (2,3)-(2,4)-|-(3,4)-(3,5)-f(4,5)i-(5,6) = 



(1.3) + (l,5) + (2,4)4-(2,6)-(3,4)4-(3,5) + (4,6)-0 



(1. 4) 4- (2, 5) 4- (3, 6) = 0; 



dunque è, intanto, come volevasi, 



A- = 2 e h = b. 



Resta a dimostrare che le matrici (I) e (III) sono pure. 



Poiché le equazioni alle radici primitive settime o none 

 dell'unità sono irriducibili (nel corpo dei numeri razionali), per 

 un'osservazione nota (i*), le matrici (I) e (III) o sono pure o 

 sono impure, ma prive di assi isolati. 



Ma se fossero impure e prive di assi isolati, i loro assi 

 puri sarebbero necessariamente ellittici e il loro indice di sin- 

 golarità sarebbe 5, oppure 8 {^^) ; dunque esse sono, come vo- 

 levasi, pure. 



(^*) Log. cit. ("), n° 6 III. 



0^) Loc. cit. (^), parte I, n" 56. 



