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ALBERTO TANTDRRI 



Sulla funzione del DIRICHLET 

 e sulla funzione signum x del KRONECKER 



Nota di ALBERTO TANTURRI 



Questa Nota contiene alcune osservazioni elementari sulla 

 funzione del Dirichlet (^) e sulla funzione sgn x del Kronecker {^). 



Tiitt'e due son funzioni del numero reale x. L'una = 0, per 

 ogni X razionale, e a 1, per ogni x irrazionale : e il Peano, per 

 il primo, ne dette un'espressione analitica, nelle sue Annota- 

 zioni al Calcolo differenziale ecc. di A. Genocchi (a. 1884; v. a 

 pag. xii); altre espressioni seguirono soltanto appresso. La se- 

 conda = 0, per a? = ; e, per ogni altro a;, =^-|-loa — 1, 

 secondochè x è positivo o negativo : e fu pure già espressa ana- 

 liticamente in vari modi. 



Sulla funzione del Dirichlet. 



<1) 



1. — Indicheremo essa funzione con Pic. Posto 



( /o = o 



( ;2:eq'^l0.0./'3!=l 



Df., 



il Peano, nel luogo citato, scrisse la proposizione : 

 (2) a; e q . . Px = lim ) /"[sen (n! tra;)] | |n; 



(') Dirichlet, Sur la convergence des séries trigonométriques , 1829, Werke, 

 t. I, pag. 132: " On aurait un exemple ... si l'on supposait <p(x) égale à une 

 constante déterrainée e lorsque la variable x obtient une valeur rationnelle, 

 «t égale à une autre constante d, lorsque cette variable est irrationnelle. 

 La fonction ainsi définio ... „. Di questa funzione, definita a parole, si de- 

 siderava un'espressione o definizione analitica. 



(2j Werke, t. II, pag. 39. 



