SULLA FUNZIONE DEL DIRICHLET, ECC. 451 



cioè presentò la Fx come limite della saccessione: /"[sen (n a;)], 

 f[sen{2nx)], f[9en{Qnx)], ..., quando f sia quella funzione del 

 numero reale z, che si annulla per z ^= , ed =1 per ogni 

 altro z. E della f dette lì stesso una rappresentazione analitica, 

 mediante il simbolo lim, applicato a una funzione assai semplice : 

 altre semplici forme possono, per es., esser queste: 



(3) zeq.^ .fz=sgn (z^) = (sgn z)^ 



= 1 — E [(1 -f mod ^)-i] . 



Se si adotta la prima, si ha: 



(4) xe q. ';) . Px = lim ] sgn ([sen {n ! TTa;)]^) 1 1 n , 



come dà il Cesàro, a pag. 10 dell'ediz. del 1905 dei suoi Ele- 

 menti di calcolo. Nella terza, poi, moda;, che, in ogni caso, ='^z^, 

 può esser pure sostituito con z^. 



2. — Introduciamo ora il simbolo P, che si legge " man- 

 tissa di „, e che, premesso a un numero reale z, ne indica 

 l'eccesso sulla parte intera Ez. Esso gode, fra l'altre, di queste 

 proprietà : 



( ^ € n . . p« = .sgn (P«) = ^z-{-^{—z) = 



( 2: e q ^ n . . „ e 0-1 . „ = „ = 1 ; 



le quali dicono che: 



se è un intero (: ..., — 2, — 1, 0, 1, 2, ...), ^z, e quindi 

 agn{^z), 0, che è lo stesso, ^z-\-^{ — z), ^0; 



e se, invece, il numero reale z non è un intero, 0<C.^z<Cl, 

 e quindi sgn{^z), o, che è lo stesso, ^z-\-^{ — z),=l (^). 

 Da essa si trae subito l'altra: 



(5) « € q . . sgn ) [sen (nz)]^ ( = sgn (P^) = ^z + ^{—z); 



(*) Esempi : 



E7 = E(7-14) = 7; E(-7) = — 7; E(— 7-14) = — 8. 

 p7 = p(_7) = 0; 3 (7-14) -=0-14; p (_ 7-14) = O'Se. 



