452 ALBERTO TANTURRI 



in virtù della quale la (4) si trasforma nella : 



(6) 05 € q . 3 . Px = lim } sgn [p (n! x)] \\n 



— lim [P [ni x)-\-^{—nlx)]\n, 



che è scritta nel Formulario Math ematico, a pag. 219. 



3. — Volendo evitare affatto il simbolo lim, modificheremo 

 leggermente quest'ultima formula. Se ?i varia, sgn[p(«!a;)J è 

 una funzione di m, che, applicata ai numeri naturali, dà la classe: 



sgn [p {n\x}]\n'Ni, 



secondo i simboli definiti in generale nel Formulario. Quando x 

 è razionale, gli elementi di essa, eventualmente uguali a 1 per 

 valori bassi di n, finiscono col diventar tutti nulli; e son tutti 

 uguali a 1, quando x è irrazionale. Dimodoché Px e uguale al 

 minimo di quegli elementi; cioè, in simboli: 



(7) a; e q . . Pa; = min ) sgn [p (n ! a;)] ] n ' Ni j . 



Nella potente orditura simbolica del Formulario, i simboli 

 min e ' precedono di molto il simbolo lim. 



4. — Si può avere un'altra formula dello stesso tipo, in- 

 troducendo il simbolo 6; che, sotto la forma e, è usato in arit- 

 metica da alcuni Autori (e v., per es., Lucas, Théorie des nombres, 

 pag. 403), ed è definibile in vari modi, per es., così: 



(8) « € q . . €« = E« f E (— «) + 1 = 1 — p« — p (— «) 



= 1 - sgn (p^) (1). 



(') Nel Formulario è scritta la proposizione : 



z € Q . . E^ + E (- z) = E [(Ee)/z] - 1 ; 

 che dà; €z= , , quando z sia un nu- 



mero reale positivo. Con essa uniamo le altre: 



ze-Q.O.€^ = E[z/(E^)] ; 



ceq 0. , =E[l/il-f-Pz)] . 



