SULLA FUNZIONE DEL DIRICHLET, ECC. 453 



Si ha, cioè, che €^ = 1 o a 0, secondochè 2 è un intero 

 o no. E allora, poiché la classe Nja; dei numeri Ix, 2x, Sx, ... 

 contiene no degl'interi secondochè x è razionale no, la 

 classe € ' (Nirr), dei loro €, si comporrà, nel primo caso, di 

 elementi 1 tra eventuali elementi nulli; e solo di elementi nulli 

 nel secondo. Dimodoché: 



(9) a;€q.o.Pa; = l — max[€'(Nia;)]. 



6. — A un'espressione analitica di Px come quoziente di 

 due serie accenna il Dini nelle sue Lezioni di analisi infinitesi- 

 male (v. la prima nota della pag. xl del voi. I). Noi scriveremo: 



(10) xeq.r).Fx = E\ì-[eill a-)]/2 — [€ (2 ! x)]j4: — 



[6(3!.r)]/8-...( 

 = E)1 - I[2-"G(w!rr)|w,Ni]|; 



adoperando così la parte intera dell'eccesso di 1 sopra una serie: 

 che, se X e razionale, ha un certo numero, m, anche nullo, di 

 primi termini nulli, seguiti dai termini ] /2'""'"\ 1/2"'^*, ... d'una 

 serie geometrica ; e, se x e irrazionale, ha tutti i termini nulli. 

 Ovvero ricorreremo a un prodotto infinito di numeri, tutti in 

 parte nulli, se a; è razionale, e tutti uguali a 1, se a? è irra- 

 zionale ; scrivendo : 



(11) xeq.o.Px = [ì — ex][l — e i2x)] [1 — € {3x)] ... 



= T\][l-e{nx}]\n,ì>l,i; 

 o, che è lo stesso : 



(12) a-eq.o .Fx = sgn[^xx^ {2x)x^ {Sx)x ...] 



= sgn)n[p(«a;)|w,Ni](. 



6. — Diamo un'ultima espressione di Px mediante il mas- 

 simo comun divisore D (a, b) di due numeri reali positivi, a e b; 

 alla cui teoria, avviata nella pag. Ili del Formulario, accennano 

 molti trattati di geometria per le scuole medie, per insegnare 

 a riconoscere se due grandezze omogenee sono commensurabili 

 no. Si dimostra che D (1, è) = solo quando 6 è irrazionale; 

 quando b è razionale, detti nt ò e dt è il suo numeratore e de- 



