454 ALBERTO TANTURRI 



nominatore ridotti (cioè quei due numeri naturali, primi fra 

 loro, il cui rapporto =h), D (1, è) = D (dt ò/dt ò, nt è/dt è) = 

 l/dtèxD(dtè, ntè) = 1/dtò. E allora: 



(13) a;eq.3.Pa; = E[l — D(l,l +mod:r)]; 



perchè, se a; è razionale, quel massimo comun divisore risulta 

 uno dei numeri 1/1, 1/2, 1/3, ..., e quindi quella parte intera =0; 

 e, se a? è irrazionale, quel massimo comun divisore risulta nullo, 

 e quindi quella parte intera = 1. 



Se teniam conto della definizione che del simbolo D dà il 

 Formulario, Vx risulta qui espressa soltanto con simboli della 

 matematica elementare : comprendendo, s' intende, tra essi il 

 il simbolo li del limite inferiore d'una classe; parallelo al sim- 

 bolo 1' del limite superiore, il concetto del quale compare già 

 in Euclide. 



7. — Se a e è son numeri reali, la funzione del numero 

 reale a;, che, per x razionale, = a, e, per x irrazionale, = ó, 

 è espressa da (ò — a) Pa? -\- a. Funzioni di questo tipo adopera 

 il Pascal, a pag. 192 e 194 dell'ediz. del 1909 degli Esercizi 

 critici di calcolo, per dimostrare alcune proposizioni di calcolo 

 integrale. 



La funzione del numero reale x, che, per x razionale, = x, 

 e, per x irrazionale, = x'^, è espressa da a; [1 -|- (ic — 1) Pa;]. 

 Di questa funzione parla il Dini, a pag. xxxix del citato volume. 



Se a, b e e son numeri reali, la funzione del numero reale x, 

 che, per x intero, = a, e per x razionale non intero, = b, e, 

 per X irrazionale, =c,e espressa da (a — b)Ex-^b -\- {e — b)Fx. 



Sulla funzione sgna;. 



8. — "A prima vista non sembra possibile esprimerla me- 

 diante i simboli funzionali già noti „, dice il Cesàro, a pag. 9 

 del libro citato; ma, subito dopo, ne riporta tre espressioni, 

 ciascuna mediante il limite d'una successione: e, appresso, senza 

 il simbolo lim, dà la quarta: 



sgn x^2lnx [t"' x ^ t-' {x-')] , 



