SULLA FUNZIONE DEL DIRICHLET, ECC. 455 



mediante la funzione inversa t~' della tangente trigonometrica; 

 con la convenzione però : t~^ (0~') = ; non volendo adottar la 

 quale, la formula potrebbe essere sostituita con la semplicis- 

 sima: sgn a; = ic/moda?, valida, com'essa, per ogni x diverso 

 da zero. Una quinta espressione, mediante un integrale definito, 

 8Ì trova poi a pag. 354 del libro stesso. 



Noi daremo, di quella funzione, parecchie espressioni ele- 

 mentari ; e, ricorrendo alla — /", espressa dalla (3), cominciamo 

 a metterla sotto la forma: 



) E [(1 + mod x)-'-'\ — \\\^gx', 



dove g è una funzione da determinare. Deve essere: 



g non = ; 



e px è un numero pari o dispari, secondochè x è posi- 

 tivo negativo; vale a dire, secondochè Ere è un No o un — Nx. 

 Basterà, per es., fare in modo che, per : 



Eaj = ... — 3 — 2 - 1 1 2 3..., 

 prevalga... 5 3 12 4 6 8.... 



Ma, come trovo a pag. 137 del Formulario, se: 



^ = ... — 3—2 1 1 2 3..., 

 mod(2« — 1/2)— 1/2 = ... 6 4 2 13 5...; 



e quindi, aggiungendo 1, e sostituendo ogni termine col suc- 

 cessivo : 



mod[2(;e-hl) — l/2]-hl/2 = ... 5 3 12 4 6 8.... 

 Dunque : 



(14) re e q . . sgn a; = ) E [(1 + mod a?)"'] — 1 ( 



h [mod (2Ea; + 3/2)4-1/2]. 



9. — Quest'ultimo esponente = 2 mod Ea; -f- 2 -|- 3 X un 

 numero hx, che =0, quando x è positivo o nullo, ed = — 1,. 



