976 CARLO SOMIQLIANA 



ove X, n, V indicano i coseni di direzione della normale a Z presa 

 positivamente nel senso fissato per le r crescenti. Differenziando 

 queste relazioni troviamo per l'espressione dell'elemento lineare 

 dello spazio 



(3) ds^ = ds'^ + r2 (d\^J^d^^-^ dv^) + dr^ -|- 



-\-2r [dx d\ -\- dy dii -\- dz dv) 



ricordando che 



\dK -\- \JLd}x -j- vdv =0 Xdx' -\- \xdy' -\- vdz = 0. 



Nella formola precedente ds rappresenta l'elemento lineare 

 della superficie 1.. Se assumiamo come linee coordinate sopra 

 questa superficie le linee di curvatura, questo elemento lineare 

 avrà la forma 



ds'^ = Edu^ + Gdv^. 



L'espressione che ha per coefficiente 2r nella (3) non è altro 

 che la seconda forma differenziale quadratica fondamentale della 

 superficie Z, mutata di segno. Perciò nel caso nostro si ha (^) 



dx d\ -f- di/ djJi -\- dz' dv =—- du^ + -3- dv^ 



Ho 



dove R ed S sono rispettivamente i raggi di curvatura delle 

 linee su cui varia 21, e di quelle su cui varia v. Si ha inoltre 

 con queste notazioni 



d\ = ^^du + ^^dv 



R OH ' S dv 



d\x=-^ ^ du -]- — ^ dv 



R Oli ' S òv 



dv = —- —- du -]- — —— de 

 R OH S dv 



e quindi, oltre la formola precedente, si ha anche 

 d\^-{-dix'- + dv'-=-^du^^-^dvK 



0) V. Bianchi, Lezioni di Geometria differenziale, Pisa, 1902, voi. I, 

 pag. 131. 



