978 CARLO SO.MIGLIANA 



Deve dunque essere, indicando con f{r) una funzione arbi- 

 traria di r, 



cioè, ricordando le (5), dovrà essere costante la curvatura media 

 di ogni superficie 



2 \Rr ^ Sr) 



Perchè possa esistere tm integrale della forma voluta, la serie delle 

 superficie parallele deve essere costituita da superficie a curvatura 

 media costante. 



Anche la superficie Z iniziale deve perciò avere una cur- 

 vatura media costante, che sarà /"(O). Cerchiamone la curvatura 

 gaussiana. Si ha dalla relazione precedente indicando con K ed H 

 rispettivamente la curvatura gaussiana e media della super- 

 ficie X 



^'^+H 



e quindi 



^^ (2r/-(0)+l) /•(>•) -/-(O) 

 r — r^ f{r) 



Perciò anche K, che è indipendente da r, non può essere che 

 una costante. La superficie iniziale avrà quindi costanti en- 

 trambi i raggi di curvatura, cioè dovrà essere o piana, o cilin- 

 drica circolare o sferica. Tali saranno pure tutte le superfici 

 parallele. 



Questi tre casi corrispondono alle ipotesi 



1° R = oo S = oo 



2° J? = cost. S = cc 



3" R = S= cosi. 



Si hanno allora dalla (6) le forme ben note dell'equazione delle 

 vibrazioni, a cui corrispondono rispettivamente nel caso delle 

 onde piane o sferiche gli integrali 



q)=f{z — at) + g{z-{- ut) [r = z} 



^ = V f('^' — «0 + T ^ ('■ + ^^^' 



