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dell'una ci serviamo per l'elevazioni a potestà , ed estra- 

 zioni di qualunque radice , potremo dell'altra valersi per 

 le differenziazioni, ed integrazioni di qualsivoglia grado. 



Sia dunque da differenziarsi la quantità a;^; in questo 

 caso poiché il differenziai cercato si è il primo, m sarà 

 = I , e però la serie generale piglierà questa forma 

 a;' 1/" -h x°y\ cioè ridotta alla comune maniera di scrivere 

 ( che secondo l'uso introdotto il numero del grado della 

 differenziazione si applica alla lettera d, o pure si segna 

 con altrettanti punti) dxij -*-xdy. 



Se in luogo del primo si voglia il secondo , o il terzo 

 differenziale sarà m = 2 , od =3 , ed i ricercati differen- 

 ziali , fatte le sostituzioni in luogo di m , saranno il se- 

 condo x^y°-i-7.x^y^-*-x"y*, ed il terzo x^y°-*-3x^y'-h3x'y' 

 -f-.T°y^, i quali come sopra ridotti rendono l'uno d'^xy 

 -^-T.dxdy-hxd^y', e l'altro d'^xy-^Zd^xdy -^"Òdxd^y 

 •^xd^y, veri differenziali della quantità proposta, se si 

 pigli anche il dx per fluente, e lo stesso s'intenda dei 

 differenziali di qualunque siasi ulteriore grado. 



E come queste operazioni di differenziare per questa 

 serie nulla più hanno di difficoltà, che quelle di elevare 

 a potestà per la Newtoniana , così nulla più diffìcile si 

 è l'integrare con quella di quel, che lo sia l'estrar le 

 radici per mezzo di questa. 



Debbasi per esempio, per aver la quadratura indefinita 

 di qualsivoglia curva , ritrovar l' integrale dell'elemento 

 dell'area ydx. Si supponga nel canone generale dx=zx; 

 sarà per quel , che di sopra s' è detto m = — i , i quali 

 valori in esso sostituiti , avremo la serie particolare 

 dx~^y° — dx-^y^-i-dx-^y- — dx~^y^-*-dx-^y'> — ec. 



Ora dx~' dinota l'integrale di dx, dx-^ l'integrai del- 

 l'integrale di dx (cioè l'integrale di x) , che io chiamo 



