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costante, e facendo x = ne deduce (p[x)-2. Ora notò 



Dalembert che può soddisfarsi alla medesima relazione 



prendendo 



con b costante arbitraria , e più tardi questa osservazione 

 fu ripetuta da Laplace , il quale, applicando alla indicata 

 relazione i suoi metodi d'integrazione per le equazioni a 

 differenze finite, trovò che per dare a <p [x] il valore più 

 generale possibile bisogna supporre la quantità b funzione 



arbitraria di sen2nz e cos 27rz , facendo z = z— ^ (1). 



log 2 ^ 



L'errore di Fongenex è ricordato anche dal Lacroix nel 



suo gran Trattato, tom. Ili, pag. 225, e vi è data pure 



la soluzione generale della menzionata equazione. 



Ecco adunque in che peccava la dimostrazione di 

 Fongenex, o, per dire più esatto, di Lagrange. Ma quan- 

 tunque erronea mi sembra assai notabile per un singolare 

 nesso che può stabilirsi tra essa e una nuova geometria 

 ideata prima di tutti dal sommo Gauss , e poi dichiarata 

 e illustrata da Lobatgheffsky e Bolyai e distinta ora col 

 nome di geometria immaginaria o non euclidea. Imperocché se 

 alla funzione p [x] si attribuisce il valore 2 ammesso da 

 Fongenex, ne risulta il postulato d'Euclide intorno alle 

 parallele e la geometria euclidea; se invece si ritiene p [x] 

 per una funzione della forma che indicarono Dalembert 

 e Laplace, si ottengono le formole della geometria imma- 

 ginaria irrdependente dal postulato d'Euclide. 



Mi riservo di esporre in altro scritto che avrò l'onore 



(t) Mémoircs prcscnlcs par divcrs savanls ^ tom. VII (anno 1773), 

 pag. 74. 



