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ove co rappresenta una quantità che tende indefinitamente 

 verso zero con h; da ciò si deduce 



(p[x-^ h, a) — ip[x, a)=:h(p'x{x , a)-h ha , 

 ■^[x-i-h] — -vf [x] = h if' [x) -hhci' , 



supposte co e Ci' due quantità infinitesime con h. Ma 

 dev'essere per h abbastanza piccolo 



lima p(^, '*)=4'(^)' 1^"^« (p{x-i-h,cc)=:-i^[x-*- h) , 

 e quindi 



lìma[<p{x-^h, a) — (p[x, a]] = -^{x-i-h] — ip{x) , 



prendendo i limiti qui indicati pel valore ot=roto: dunque 

 sostituendo e dividendo tutto per h, avremo 



ÌÌma(Px [X, Ot.)-i-ì\maG> = \^' [x] -h co' , 



ossia 



lima <^x' (a; , a) — \\>'[x)=zco' — lima cu • 



Ora ■vf' (a?) ha un valor determinato, e si suppone che 

 anche lim, <Px[x,cl) abbia un valore determinato; perciò 

 il primo membro ha un valor determinato , e dovrà averlo 

 anche il secondo. Ma il valore del secondo si può render 

 piccolo quanto si vuole prendendo h sempre più piccolo 

 poiché co Q co' decrescono indefinitamente con h: dunque 

 il valor fisso del secondo membro non può esser altro 

 che zero, e così devesi conchiudere 



limap^.'(x,a) = ^f' (a:) . 



Pertanto è dimostrato l'assunto. 



Questo teorema fu annunciato dal sig. Blanchet nel 

 giornale di Liouville (tom. VI, pag. 67-68, anno 1841); 

 poscia con poca diversità dal Duhamel ne' suoi Eléments 

 de calcid infìnitrsimal {tom. I.pag. 257; Parigi, 1856); dal 



