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Ma per applicarlo (come hanno fatto Duhamel e Serret) 



a provare che -r-^ è il limite di -r—^ nel caso di Aa;=0, 



^ dx" Ax" 



dopo scritta l'eguaglianza —^=-7^-4- e ove £ è una fun- 

 ^ ° ° Ax dx 



zionedixe Ax nulla per Aa; = 0, converrebbe aggiungere 



de 

 qualche spiegazione per mostrare che veramente -r- tende 



clx 



verso un limite fisso mentre àx tende verso zero, oppure 

 (usando le parole del Serret) che la stessa quantità è 

 continua nel caso di Aa; = 0. 



Quella proposizione può esser dedotta dall'altra egua- 

 glianza facile a dimostrarsi 



A"/'(a;) = /i/h/Ja. . . h„.,f"{x-i-6h-i-6nhi-l- ... -+-ó„_, /ì„_,) , 



in cui h, hi, h^, . . . /i„_, sono gli incrementi successivi 

 di X, e i coefficienti 6, 5,, 5», , . . 5„_, sono quantità inco- 

 gnite comprese tra e 1 (*). 



V. Grunert, Archiv der Malhematik , tom. XLIX, fase. S.» 

 Ecco un'altra dimostrazione molto semplice. 



Posto y = f{x) , h = Jx^ si ha Jy=:f(x-^-h)—f(x) , 



• ■.. p -, dy , Jy . j , dy. Jy' 



e qumdi facendo j^=y' , ji^=Vi possiamo dedurne ^=;^. 



D'altra parte la formola sopra citata darà 



Jx dx ' ' Ax dx ' 



chiamate fj , £' due quantità infinitesime con Jx: dunque 



/' = 3^-i-£'-v-f, , ossia — -4=;r4-+-f -+-^1 ) 

 Jx dx ' Jx^ dx^ ' 



J^ V d^ V d^ ìf 



donde lini -r4 = v4 • In modo simile si passa a j-i- , ecc. 

 Jx^ dx^ ^ d x^ 



