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Analogamente si potrebbe tentare di modificare la forma 

 di certi solidi di volume conosciuto , facendo prendere 

 agli elementi nuove posizioni mediante opportuni movi- 

 menti di traslazione e di rotazione, accompagnati talora 

 da una riduzione in proporzione costante ; e si otter- 

 rebbero per avventura relazioni analoghe a quella che è 

 oggetto del presente studio. 



H.^ Si è supposto che nel costrurre la linea nuova si 

 facesse sempre uso della stessa linea ausiliaria y = (p[x) 

 ma è evidente che si avrebbero ancora due aree uguali 

 quando nella costruzione dei diversi punti della linea 

 nuova si facesse uso di tante linee ausiliarie diverse. Però 

 aflfme di ottenere una linea nuova continua , richiedesi 

 che passando da un punto m' di questa linea al punto 

 consecutivo la linea ausiliaria varii pochissimo ; ed è 

 indispensabile che i punti coniugati derivino da una 

 stessa linea ausiliaria. Si può anche soddisfare a queste 

 condizioni sostituendo ai parametri costanti della fun- 

 zione ausiliaria <p{x) altrettante funzioni continue della 

 ordinata y e tali che assumano un valore unico cor- 

 rispondentemente ad un valore qualunque di y. 



3.^ Se la linea primitiva soddisfa alla condizione , 

 che ad ogni valore di x corrisponda un valore unico 

 di y, anche la linea nuova soddisfa a tale condizione; 

 epperò, se la linea nuova sia ancora simmetrica rispetto 

 all'asse della y, si potrà applicare nuovamente la formola 

 degli integrali simmetrici. 



4.^ Se la linea primitiva sia simmetrica rispetto ai 

 due assi, si potrà procedere alla costruzione della linea 

 nuova modificando prima le ascisse , sostituendo cioè 

 X — (p{x) alla semplice x. Questa operazione non distrugge 

 la simmetria rispetto all'asse delle x: si potrà quindi 



