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Se la linea AB si riduce al solo punto (fig. 2), in- 

 torno al quale giri la retta AB, in modo che l'angolo da 

 essa descritto e lo spazio percorso da m sulla retta stessa 

 sieno proporzionali , la linea percorsa da m è una spirale 

 d'Archimede avente per polo il punto 0, ed il ragiona- 

 mento precedente prova che la normale in qualsiasi suo 

 punto m incontra la perpendicolare al raggio vettore in 

 in un punto C, tale che OC sia uguale al rapporto costante 

 fra lo spazio percorso da m sopra AB e l'angolo descritto 

 da questa retta. Il ragionamento precedente dimostra 

 adunque la nota proprietà della spirale d'Archimede di 

 aver la sottonormale costante. 



Il teorema qui sopra dimostrato serve anche a trovare 

 il raggio di curvatura dell'evolvente imperfetta di una 

 linea qualunque , e quindi la sua evoluta. 



Considero una circonferenza di circolo (flg. 3). Sia 

 il suo centro e sieno m m' due punti qualunque di una 

 sua evolvente imperfetta eà M M' i punti corrispondenti 

 della circonferenza, e C e C i punti in cui i raggi OM 

 OM' sono incontrati dalle normali mi m'V alla evolvente. 



Poste le notazioni 



OM=a , MOM'=e , mCM=i<p , m'C'M' = (p' ,- 



si avrà 



tangffl' — tang(p=r— yr -=-r : OC-=.OC' = ra , 



°^ o ^ a[\ — r)' 1 — r 



e quindi 



rd 



1 — r 



tang(®' — ®) = -j -, , 



o \r T) 1 -t- tang^tangp^ 



e facendo tendere a l'angolo S si avrà 



lira. 



;■ _rcos"f 



:t H-tang>)(l — r)~ 1 — r 



