SUI PRINCIPII CHE REGGONO LA GEOMETRIA -DELLE RETTE 347 
$ 40. 
Il punto ed il piano. 
Scelta a piacere una quaterna di riferimento 4, 8, c, d, 
come in P1$3, saranno date con essa due reti congiunte [abc], 
[abd]. Le ultime prps.i suggeriscono di partir la classe di tutte 
le reti possibili in due sistemi; ponendo nell’un sistema tutte 
quante le reti omogenee con [ade], nell'altro quelle omogenee 
con [add]: perciò due reti spettanti al medesimo sistema saranno 
sempre omogenee (P16$ 3); e all’incontro eterogenee due reti 
spettanti a sistemi diversi (P11,12,16$3; ecc.). Se muteremo 
ad arbitrio il sistema di riferimento; ovver se al posto delle 
due reti congiunte [ade], [add] porremo due nuove reti £, £' 
a piacere, purché eterogenee fra loro; la partizione fondata 
su queste non sarà in nulla diversa dalla precedente: atteso che 
il sistema di tutte le reti omogenee con È (o con f') dovrà con- 
fondersi con uno dei precedenti (P13,14,16,17$3; ecc.). Ad uno 
di que’ sistemi può mettersi il nome di “ punto projettivo ,, 
all’altro il nome di “ piano projettivo ,; cosicché, per es., sian 
punti le reti omogenee con [abc], piani le reti omogenee con 
[abd]. Per mezzo di duet} projettivi distinti sarà sempre in- 
dividuata una retta projettiva, o raggio, appartenente ad entrambi: 
laddove un punto ed un piano non avranno in comune alcun 
raggio, o ne avranno a comune infiniti (un fascio): ved. P11 
$3, ecc. In quest’ ultimo caso si dice opportunamente, che il 
punto ed il piano “ si appartengono , a vicenda; e che cia- 
scuno è “ sostegno , dell’altro: come ancor si suol dire che un 
piano — al pari di un punto —- appartenga a ciascuno dei raggi 
che lo compongono: ecc., ecc. 
L’indifferenza che c’è nell’attribuire il nome di punto all’uno, 
più tosto che all’altro, dei due predetti sistemi di reti (e il fatto 
che questa scelta non abbia effetto di sorta in quanto si dice 
appresso) involge una dualità perfetta fra punto e piano. 
Una volta acquisiti il raggio, il punto ed il piano, chi voglia 
certificarsi dell’effettiva possibilità di cavare da questi dati tutto 
quanto il materiale dell’ordinaria Geometria Projettiva, non avrà 
che da richiamarsi a un qualche noto sistema deduttivo di questa 
