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infatti che le congruenze (3,3) e (3,2) di genere sezionale uno 
stanno sempre in un complesso tetraedrale (!). 
Infine due inviluppi di 3? classe fra loro collineari e aventi 
quattro piani doppi uniti generano una congruenza (8,1) di 
genere sezionale zero (M., n° 58). Questa deve essere dunque 
una congruenza cremoniana generata da due piani omografici in 
posizione generale; ed essa può infatti considerarsi come gene- 
rata da una corrispondenza omografica fra due qualunque dei 
quattro piani doppi comuni ai due inviluppi. 
D'altra parte una superficie di 3* classe con quattro piani 
doppi (ossia tangenti secondo coniche), e perciò di 4° ordine, 
non è altro che una superficie di Steiner. E due superficie di 
Steiner generiche sono sempre proiettive (*); se poi hanno a co- 
mune i quattro piani tangenti secondo coniche, esse potranno 
trasformarsi proiettivamente l’una nell’altra, e in un sol modo, 
in guisa tale che ciascuno di quei piani doppi corrisponda a sè 
stesso. Le rette intersezioni delle coppie di piani tangenti delle due 
superficie che si corrispondono in questa collineazione formeranno 
una congruenza cremoniana (3,1) di genere sezionale zero. 
Più intuitivo è forse il teorema duale: Due superficie del 
3° ordine con 4 punti doppi sono sempre protettive (almeno se i 
punti doppi sono distinti). Se esse hanno a comune i punti doppi, 
vi è una sola collineazione che ha questi 4 punti per punti uniti 
e fa corrispondere fra loro le due superficie. Le congiungenti 
delle coppie di punti omologhi delle due superficie formano allora 
la congruenza (1,3) delle corde di una cubica sghemba; e questa 
cubica è l'intersezione residua delle due superficie, all’infuori 
delle 6 rette che congiungono a due a due i 4 punti doppi 
comuni ad esse. Tutte proprietà elementari, che si possono 
anche dimostrare direttamente senza difficoltà. 
(4) Cfr. CasreLnuovo, Sulle congruenze del 3° ordine dello spazio a 4 di- 
mensioni, “ Atti del R. Ist. Ven. ,, s. Vi, t. VI, n° 28, 29, 33; come pure la 
mia Memoria: Studio di alcuni sîstemi di rette... © Annali di Matem. ,, s. 22, 
t. 21, ni 14, 6. Della congruenza (3, 2) è poi notissimo che è contenuta in 
dieci complessi tetraedrali. 
(*) Ciò si deduce immediatamente dalle equazioni tangenziali di queste 
superficie, che, riferite al tetraedro dei piani tangenti doppi, assumono la 
forma: 
da dg d3 U 
Ma apple idr og, 
Ui + Ug ri Ug gu Uz 
