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SOPRA ALCUNE PARTICOLARI CONGRUENZE, ECC. 907 
tetraedro A, As A3 A,, congiunta a un certo piano (a,, ds, 4g, %4) 
passante pel vertice opposto — e supporremo che sia a; il piano 
passante per A, —, costituirà allora una coppia di piani di X; 
e ciascuna delle altre 6 coppie di piani si comporrà di 2 piani 
passanti rispett. per due spigoli opposti di quel tetraedro. Questi 
12 piani conterranno ciascuno un fascio di rette della con- 
gruenza (3,3); i piani a; conterranno inviluppi quadrici di rette; 
i punti A, saranno vertici di coni quadrici appartenenti alla 
congruenza. Si ha dunque una congruenza (3,3) di genere sezio- 
nale due, la quale, oltre ai soliti 12 fasci di rette (M., n° 65), 
contiene 4 conì quadrici e 4 inviluppi piani di 2° classe, disposti in 
tal guisa che i piani di questi ultimi formano un tetraedro circo- 
scritto a quello dei vertici dei quattro coni. I 12 fasci di rette 
si distribuiscono in 6 coppie tali che per ciascuna coppia i due 
centri stanno sopra una retta a, 0, e i due piani passano per 
la retta corrispondente A, A, (essendo ihk/ una permutazione dei 
4 indici 1,2,3,4). 
Questa congruenza determina fra i piani a; a due a due 
delle corrispondenze cremoniane di 3° ordine aventi i punti A, 
come punti fondamentali doppi. Essa riferisce quindi proiettiva- 
mente fra loro i quattro fasci di raggi A;(0,): le rette della 
congruenza che si appoggiano ai singoli raggi di uno di questi 
fasci formeranno (astrazion fatta dal cono A, e dall’inviluppo a,) 
le co! rigate quadriche della congruenza (M., n° 65); e queste 
stesse rigate avranno per direttrici anche i raggi degli altri 
tre fasci A, (a;) rispett. omologhi ai primi nell’anzidetta proiet- 
tività. Quattro raggi omologhi dei 4 fasci A, (a;) sono dunque diret- 
trici di una stessa rigata quadrica. 
La congruenza potrà pertanto generarsi con tre fasci proiet- 
tivi di complessi lineari speciali (ossia fasci di rette)('), ad es., 
A, (0), As (02), Ag (03); ma vi dovrà essere anche un quarto 
fascio A, (0,) nelle stesse condizioni dei precedenti e sostituibile 
a uno qualunque di essi nella generazione della congruenza (?). 
(4) RocceLLa : Sugli enti geometrici dello spazio di rette... “ Piazza Arme- 
rina ,, 1882; Hirst: Sur la congruence Roccella... È Rend. di Palermo ,, I, 
p. 64. V. anche la mia Memoria degli Annali di Matem., n° 12. 
(*) Questa congruenza sarà dunque un caso particolare anche rispetto 
alle congruenze (3,3) con 15 punti e 15 piani singolari considerate nei la- 
vori cit. alla nota preced. 
